【汇旺担保】 洛朗级数

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[拼音]:Luolang jishu

[英文]:Laurent series

式中

单值解析函式ƒ(z)在圆K内以圆心α为它的惟一的奇点的情形特别值得注意。在这种情况下,洛朗展开式除去点α外,在圆K 内的每一点z上都收敛,并代表一个在圆K内,除去圆心外,到处都解析的函式ƒ(z)。点α称为函式ƒ(z)的孤立奇点。根据单值函式ƒ(z)在孤立奇点的邻域内的洛朗展开式中负幂项的系数的不同,可把孤立奇点分为如下三类。

可去奇点

若洛朗展开式中根本不包含 (z-α)的负幂,则点α称为ƒ(z)的一个可去奇点。关于可去奇点,有如下的定理:z=α是ƒ(z)的可去奇点的充分且必要的条件是,函式ƒ(z)在z=α的某个除去α的邻域内是有界的。这时,函式ƒ(z)的洛朗展开式变为泰勒展开式:

并有

在这种情况下,函式ƒ(z)与一个在z=α的邻域内解析的函式重合。

极点

若函式ƒ(z)的洛朗展开式中,只含有有限个(z-α)的负幂项,则称z=α为ƒ(z)的一个极点。若对于正整数m,с-m≠0,而当n>m时,с-n=0,则称z=α为ƒ(z)的m 阶极点。这时函式ƒ(z)有展开式:

本性奇点

若函式ƒ(z)的洛朗展开式中含有无穷多个(z-α)的负幂项,则称点z=α为ƒ(z)的一个本性奇点。

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